sábado, 19 de novembro de 2011

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 12:



Resposta E:
Vamos verificar os semicírculos baseados no lado do hexágono em I e no lado do quadrado em II, contendo as lunas L1 e L2.


No caso da figura I esse semicírculo, de diâmetro r que é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência de raio r, possui área é igual a:
C1 =  1/2 . π x (diâmetro/2) 2 = 1/2 . π  .  ( r  / 2 ) 2 ,  assim C1  = π . / 8

No caso da figura II o semicírculo, de diâmetro √ 2 que é o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r, possui área é igual a:
C2 =  1/2 . π x (diâmetro/2) 2 = 1/2 . π  .  ( √ 2 / 2 ) 2 ,  assim C2  = π . / 4


Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos. 


No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é sua base e que é o lado do hexágono regular inscrito, a altura é √ 3 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o hexágono. A área desse triângulo é igual a:
T1 = 1/2 x base x altura = 1/2 . r . r √ 3 / 2,  assim T1  = r √ 3 / 4


No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r, base √ 2 e que é o lado do quadrado inscrito, a altura é √ 2 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o quadrado. A área desse triângulo é igual a:
T2 = 1/2 x base x altura = 1/2 . r √ 2  . √ 2 / 2 ,  assim T2  = r  / 2


Ainda, Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares. 


No caso da figura I será esse setor circular terá área igual a:

S1 =   π x raio 2 x angulo / 360 = π  .  r  2 . 60 / 360 ,  assim S1  = π . / 6

No caso da figura II o semicírculo possui área é igual a:

S2 =   π x raio 2 x angulo / 360 = π  .  r  2 . 90 / 360 ,  assim S2  = π . / 4


Com os resultados acima podemos calcular as áreas A1 e A2 a saber:


A1  = C1 + T1 - S1 = π . / 8 + √ 3 / 4  -  π . / 6 , assim
A1  = 2 . ( √ 3 π ) / 24

A2  = C2 + T2 - S2 = π . / 4 +  / 2  - π . / 4assim
A2  = 2 / 2   (Vejam só: é área do triângulo T2! Por quê?)
Finalmente vamos calcular a razão entre as áreas:
A1 / A2 = 2 . ( √ 3 π ) / 24 / 2 / 2, portanto: 
A1 / A2 = √ 3 π ) / 12  que é um número irracional.




Concluímos então que a razão entre A1 e A2 não é um número racional e, também, que A1 e A2 não são da forma explicitada na segunda asserção.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 11:


Resposta B:


O produto de permutações é efetuado na ordem inversa das permutações. Assim sendo, o produto  é desenvolvido da seguinte forma:

  1. Aplicamos a permutação    à sequência ( 1 2 3 ) e obtemos ( 3 2 1 ) 
    1. Depois, aplicamos a permutação à sequência ( 3 2 1 ) e obtemos ( 2 3 1 ) 

    ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 10:


    Resposta B:


    Dividindo por n a expressão:  $ \frac{n \sqrt[n]{e}}{e} < \sqrt[n]{n!} < \frac{n \sqrt[n]{ne}}{e}$ .


    Obtemos: $ \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} < \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} < \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e} $ .


    Aplicando o limite no infinito:

    $ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} \le \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e} $ .

    Vamos verificar o limite de cada membro da expressão acima.

    $ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} = \frac{1}{e} $ 

    $ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = a $

    $ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e}  = \frac{1}{e}  $

    Chegamos assim à seguinte expressão: $ \frac{1}{e} \le a \le \frac{1}{e} $ 

    E portanto: $ a = \frac{1}{e} $.

    ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 9:

    Nessa postagem e em outras futuras serão colocadas as resoluções das questões específicas da Prova de Matemática do Enade 2011. No caso de respostas incompatíveis com o gabarito publicado pelo ENADE seguirá um comentário explicativo da discordância. Para cada resolução aqui publicada, sabemos que há, em geral, outras possibilidades e caminhos para uma nova solução, portanto fique à vontade para sugerir novas abordagens, comentar eventuais erros que tenham sido cometidos, fazer críticas, etc. Compartilhe o seu conhecimento! 


    Resposta C:
    No enunciado pede para supor que a solução do sistema homogêneo seja única, então devemos ter os seguintes fatos:
    1. O sistema é possível e determinado, pois possui uma única solução.
    2. m ≥ n. O número de equações é maior do que ou igual ao número de incógnitas e se m > n então temos m-n linhas que são combinações lineares de n linhas.
    3. O detA ≠ 0. Isso é condição necessária para que o sistema seja possível e determinado.
    Analisando as alternativas dadas:
    1. As colunas da matriz A são linearmente dependentes.
      Incorreto. Se assim fosse teríamos detA = 0.
    2. O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções.
      Incorreto. Contradiz a suposição de que o sistema admite uma única solução.
    3. Se m > n, então a matriz A tem m - n linhas que são combinações lineares de n linhas.
      Correto. É o fato 2 listado acima. Nesse caso podemos reduzir o sistema para m equações e n incógnitas.
    4. A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
      Correto. É o fato 2 listado acima.