Resposta C:
Vamos analisar as afirmações dadas:
I - Correto.
Trata-se da aplicação direta da definição de derivada.
I - Correto.
Trata-se da aplicação direta da definição de derivada.
II - Correto.
Supondo $F(x,y,z) = 0 = constante$ , então sua derivada é igual a $0$. Lembremos que a derivada dessa função ímplicita pode ser obtida da seguinte forma:
$ {\partial F \over \partial x} + {\partial F \over \partial z} ( {\partial z \over \partial x} )_F = 0 \Longrightarrow ( {\partial z \over \partial x} )_F = - { \partial F \over \partial x } / {\partial F \over \partial z} \iff ( {\partial z \over \partial x} )_F = - { F_{x}(x,y,z) \over F_{z}(x,y,z) } $
Supondo $F(x,y,z) = 0 = constante$ , então sua derivada é igual a $0$. Lembremos que a derivada dessa função ímplicita pode ser obtida da seguinte forma:
$ {\partial F \over \partial x} + {\partial F \over \partial z} ( {\partial z \over \partial x} )_F = 0 \Longrightarrow ( {\partial z \over \partial x} )_F = - { \partial F \over \partial x } / {\partial F \over \partial z} \iff ( {\partial z \over \partial x} )_F = - { F_{x}(x,y,z) \over F_{z}(x,y,z) } $
III - Incorreto.
Da afirmação II, temos:
$ ( {\partial z \over \partial x} )_F = - { F_{x} \over F_{z} } $ , então analogamente:
$ ( {\partial x \over \partial y} )_F = - { F_{y} \over F_{x} } $ e
$ ( {\partial y \over \partial z} )_F = - { F_{z} \over F_{y} } $ . Assim o produto indicado será:
$ {\partial z \over \partial x} {\partial x \over \partial y} {\partial y \over \partial z} = (- { F_{x} \over F_{z} }) ( - { F_{y} \over F_{x} } ) ( - { F_{z} \over F_{y} } ) = - 1 $