ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 40

Considerando $ E $ um espaço métrico, $ A \subset E $ um conjunto aberto e $ (x_n) \subset E $ uma sequência convergente para $ p \in A $, analise as afirmações abaixo.

1. O complementar de $ A $ é fechado em $ E $.
2. Toda vizinhança aberta de $ p $ está contida em $ A $.
3. $ x_n \in A $, para todo $ n $ suficientemente grande.

É correto apenas o que se afirma em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. I e III

Resposta E:

Vamos, então, analisar as afirmações:

I. Correto
Num espaço métrico o complementar de aberto é fechado e vice-versa (é um teorema).


II. Incorreto
Uma vizinhança aberta de $ p \in A $ pode conter pontos em $ A $ e pontos na fronteira de $ A $.


III. Correto
Também é um teorema: Se $ p $ é um ponto limite de um conjunto $ A $ , então toda vizinhança de $ p $ contém infinitos pontos de $ A $.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana
$ \alpha(t) = ( e^{sen(t)} - 2 cos(4t)) ( cos(t), sen(t) ) $, para $ t \in R $

A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir:

1. $ \alpha $ é injetiva no intervalo $ ( 0, 2 \pi ) $ .
2. $ \alpha $ tem curvatura constante.
3. $ \alpha ( t + 2 \pi ) = \alpha ( t ) $ para $ t \in R $
4. $ \alpha $ tem vetor tangente unitário em $ t = 0 $ com $ \alpha ' ( 0 ) = ( -1, 0 ) $.
5. O traço de $ \alpha $ está contido em um círculo de raio $ r < ( e + 2 ) $ .

É correto apenas o que se afirma em:

1. II
2. I e II
3. I e IV
4. III e V
5. III, IV e V

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Incorreto.
Pelo gráfico de $ \alpha $ claramente vê-se que a curva não é injetiva, por exemplo substitua $ t = \frac{\pi}{4} $ e   $ t = \frac{3 \pi}{4} $.

II - Incorreto.
Basta observar a curva apresentada na figura.

III - Correto.
Ok. pois o período de $ \alpha $ é igual a $ 2 \pi $ .

IV - Incorreto.
Pois $ \alpha ' (0) = ( -1, 1 ) $ que não é um vetor unitário.  

V - Correto.
Basta observar a curva apresentada na figura, considerando que $ e + 2 > 5,7 $.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 38:

O conjunto $G = \left \{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, \left | ad - bc \right | = 1
 \right \}$, com a operação usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade $ I = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $. Dado um elemento $A \in G$, define-se a ordem de $A$ como sendo o menor inteiro positivo $m$ tal que $A^m = I$, caso $m$ exista. Se não existir, diz-se que $A$ tem ordem infinita.
Considerando $ A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} $ e $ I = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $, avalie as asserções a seguir:
.

O elemento $ AB $ tem ordem seis

PORQUE

$ A $ tem ordem três e $ B $ tem ordem dois. 

.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

1. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
2. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
3. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
4. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
5. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Resposta D:

Vamos analisar as asserções dadas:

Primeira - Falsa.

$ AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ (AB)^6 = \begin{bmatrix} 13 & -8 \\ -8 & 5 \end{bmatrix} $ , logo $ AB $ não possui ordem seis.

Segunda - Verdadeira.

$ A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ , logo $ A $ possui ordem três e $ B $ possui ordem dois.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 37:

Para resolver a equação $ x^2 = cos(x) $ utiliza-se a Fórmula de Taylor da função $ cos(x) $. Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:

1. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem na fórmula de Taylor, são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.
2. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para $ cos(x) $ é limitado por $ \frac{\left | x^3 \right |}{6} $.
3. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda ordem para $ cos(x) $, os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. II e III

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
A expansão de Taylor, de segunda ordem, para $ cos(x) $ é: $ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} $, então a equação dada fica assim:
$ x^2 = 1 - \frac{x^2}{2} \iff x^2 =  \frac{2}{3} $ e portanto as raízes são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.

II - correto.
Sim pois o (n+1)-ésimo termo da expansão de Taylor determina o erro de truncamento. Como temos $ n=2 $ então $ n+1=3 $ e o erro é limitado por $ \left | \frac{x^3}{3!} \right | $.

III - Incorreto.
Obviamente que pelas alternativas dadas na questão não haveria a necessidade de avaliar essa afirmação. Mas podemos verificar que, usando $ \frac{\pi}{6} $ como exemplo temos que o valor exato de seu cosseno é $ 0.5 $.
Usando a série de Taylor de segunda ordem temos o valor de $ 0,45169 $ o que implica em um erro de aproximadamente 10% . Usando a expansão de quarta ordem, $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} $, nós obtemos um valor de $ 0,50180 $ para o cosseno, isto significa praticamente 0% de erro.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 36:

Resposta C:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
Essa é uma das características das classes de equivalência.

II - Incorreto.
Essa é a definição de conjunto quociente.

III - Correto.
É compatível com a definição proposta no enunciado.

IV - Incorreto.
Basta ver que a relação $ \geq $ não é uma relação de equivalência em $ Z $, pois não é reflexiva.

Asas e Raízes

Hoje, depois de algum tempo ausente, gostaria de retomar as postagens do blog. Desta vez, excepcionalmente, com um assunto fora da temática principal. Trata-se de um texto em homenagem aos pais que escrevi por ocasião da formatura no curso  de matemática e que agora venho compartilhar neste espaço.

Asas e Raízes

"Bendito aquele que consegue dar asas e raízes aos seus filhos". Essa frase atribuída a Dalai Lama sintetiza o papel dos pais em nossas vidas.

Desde o momento que os filhos nascem, até mesmo antes disso, os pais iniciam o trabalho, que não tem prazo para terminar, de dar-lhes raízes e asas. Os filhos, por sua vez, passam a viver sob as asas dos pais até que as suas próprias estejam prontas para os voos que desejarem ou que a vida lhes impuser.

Os pais criam os filhos dando-lhes amor, carinho, cuidados. Mostram os caminhos a seguir, valorizando a família, a dignidade, o respeito, a ética, a moral e a boa convivência com as outras pessoas. Mostram aquilo que consideram certo ou errado. Corrigem, perdoam, amparam. Abdicam, em muitos casos, do seu próprio bem-estar para que seus filhos o tenham. Estão dando-lhes as raízes sólidas da existência humana.

Os pais também ensinam, o tempo todo. Ensinam aos filhos os cuidados pessoais mais básicos e necessários à sobrevivência. Ensinam como os filhos devem se comportar. Ensinam-os a conter e a expor as emoções. Ensinam tanto o valor das conquistas como, também, o valor dos tropeços. Ensinam-os a ouvir não, a dizer sim. Colocam seus filhos na escola e lutam para que lá permaneçam e tenham sucesso. Estão dando-lhes asas cada vez mais vigorosas para que um dia voem por si.

As raízes são as bases, mais do que físicas, que alicerçam a vida dos filhos, lhes dão o rumo e são o porto seguro para onde podem voltar quando quiserem ou necessitarem. As asas, por sua vez, são os instrumentos pelos quais se pode ir além, alcançar novos patamares e vislumbrar novos caminhos.

Nesse momento no qual os filhos, os formandos aqui presentes, conquistam mais um reforço para as suas asas. Momento no qual preparam novos voos, mais seguros e independentes, vamos deixar registrada a nossa gratidão pelas raízes e as asas que nossos benditos pais nos deram.

De volta aos complexos

Hoje voltamos ao assunto números complexos para resolver o seguinte problema

Sejam $ z, w, u \in C $, tais que:

$ z + w + u = 0 $, $ | u - z | = | w | \ne 0 $, $ | u - w | = | z | \ne 0 $

prove que u=0.


Então vamos lá:

Consideremos A, B, C, pontos no plano,  como as imagens dos complexos z,w, u respectivamente.  E seja O a origem do plano, isto é O=(0,0).


Assim:

$ |u-z| = |w| \Rightarrow AC = OB $



$ |u-w| = |z| \Rightarrow BC = OA $


Dessa forma temos que  AOBC é um paralelogramo e portanto: $ u = z + w $ 


Assim nós temos:


$ z + w + u = 0 \Rightarrow 2 u = 0 \Rightarrow u=0 $

Observe que foi usada a característica geométrica dos números complexos  para facilitar a resolução do problema. Isso é possível pois todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano. No caso, a partir dessa representação pudemos perceber a relação entre os módulos e daí deduzir o paralelogramo e chegar ao resultado desejado.
É isso por hoje.

Raiz quadrada irracional

Uma discussão, em www.ajudamatematica.com ,  pedia a demonstração que a raiz quadrada de números inteiros positivos pares, que não são quadrados perfeitos,  é irracional. Iniciei a participação usando uma hipótese inadequada que o número par era da forma 2k e k seria um número primo. Mas isso não se sustentou por muito tempo. Eu mesmo cheguei à conclusão que havia muitos números nessa forma nos quais o k não era primo. Depois acabei apresentando uma solução para o problema.

Nesta postagem vou apresentar uma outra prova mais geral e mais simples, muito parecida com aquela que se usa para provar que $ \sqrt{2} $ é irracional.

Nosso problema é:

Mostrar que raízes quadradas de números inteiros, que não são quadrados perfeitos, são irracionais, isto é:

Seja $a$ um número inteiro não quadrado perfeiro então $ \sqrt{a} $ é irracional.

Prova:
Seja $ \sqrt{a} = \frac{p}{q} $,  onde  e  são inteiros e $ mdc(p,q) = 1 $.
Então $ a = \frac{p^2}{q^2} => aq^2 = p^2 $. Como $a$ não é um quadrado perfeito,  deve ser divisível por $a$. Assim, seja $p = ka $, o que nos leva a $ aq^2 = k^2a^2 => q^2 = k^2a $. Logo $q$  também é divisível por $a$. Concluímos que  e  possuem um fator em comum ($a$). Isso contraria nossa hipótese que   $ mdc(p,q) = 1 $.  Portanto, $ \sqrt{a} $ é irracional.


Observação: Essa é uma prova geral e prova também, em particular, os casos em que o número inteiro $a$ é par.

Ficamos por aqui. Até mais.

Mais álgebra com os números complexos

Nesta postagem vamos mostrar que o conjugado da divisão de dois números complexos é igual a divisão dos respectivos conjugados.


Sejam $ z = a + bi $, $ w = c + di $ dois números complexos e sejam $ \bar z = a - bi $, $ \bar w = c - di $ seus respectivos conjugados.


Assim $ \frac{z}{w} = \frac{(a + bi)}{(c+ di)} $ . 


Agora vamos usar a velha e boa dica de multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja: multiplicar por $ \frac{(c-di)}{(c-di)} $ . Fazemos isto para eliminar a parte imaginária ( o $i$ ) no denominador. Então continuando:


$ \frac{z}{w} = \frac{(a + bi)}{(c+ di)} \frac{(c - di)}{(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 - d^2} $


Então temos que $ \frac{z}{w}= \frac{[(ac + bd) + (bc - ad)i]}{c^2 - d^2}$ . 


O conjugado desse resultado é: $ \bar{(\frac{z}{w})}  = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 - d^2} $ , que fatorando fica  


$ =  \frac{(a - bi)(c + di)}{c^2 - d^2} $ , agora multiplicamos, novamente, por $ \frac{(c - di)}{(c - di)} $, isto é:


$ = \frac{(a -bi)(c + di)}{c^2 - d^2} \frac{(c - di)}{(c - di)} = \frac{(a - bi)}{(c - di)}$ . 


Com isto mostramos que $ \bar{(\frac{z}{w})} = \left( \frac{\bar z}{\bar w} \right) $.


Por enquanto é isso.

Uma pitada de álgebra com números complexos - continuação

Na postagem anterior citei dois resultados sobre os números complexos que agora vou detalhar, são eles:

1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
   $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $
   
   Este resultado pode ser obtido graficamente dado que o conjugado de um número complexo é a reflexão do mesmo no plano em torno do eixo real. Aqui vou apresentar a explicação algébrica desse resultado.
   
   Sejam $z = a + bi$ e  $w = c + di$ e os respectivos conjugados  $ \bar{z} = a - bi$ e  $  \bar{w} = c - di $.
   
   Calculemos a distância entre $z$ e $w$ :
   
   (A) $\left| z - w \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $ .
   
   Agora calculemos a distância entre   $ \bar{z} $ e $ \bar{w} $ :  
   
   $\left| \bar{z} - \bar{w} \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (-b+d)^{2}} =  \sqrt { (a-c)^{2} + (- (b-d) )^{2}} =  $
   
   (B) $ \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $
   
   Portanto, por (A) e (B) temos que  $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ .
2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
   $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $
   
   Sejam $z = a + bi$ e  $ \bar{z} = a - bi $ o seu conjugado. Calculemos o produto entre eles:
   
   $ z \bar{z} = ( a + bi ) ( a - bi ) = a^2 - (bi)^2 =  a^2 - (b^2i^2) = a^2 -( -b^2 ) = a^2 + b^2 = $
   
   $ (\sqrt{ a^2 + b^2 })^{2} =   {\left| z \right|}^2 $ .

É isso por hoje.

Uma pitada de álgebra com números complexos

Vamos trabalhar um pouquinho com números complexos através de uma solução para o seguinte problema:

Sejam $z$ e $w$ dois números complexos distintos. Sabendo-se que o módulo de $z$ é igual a 1, mostre que:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$

Solução:

Para tal vamos anotar dois resultados, fáceis de deduzir, sobre os números complexos:

1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
   $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ 
2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
   $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $

Com isso podemos mostrar que $  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ da seguinte forma:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1 \iff  \frac{ \left| z - w \right| }{\left| 1 - z \bar w \right|} = 1 \iff \left| z - w \right|  = \left| 1 - z \bar w \right| $

Então devemos mostrar que $ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ , portanto vamos desenvolver o primeiro membro da igualdade:

$ \left| z - w \right| = \left|  \bar{z} - \bar w \right| $ ( do resultado 1 acima ).


$ \left| \bar{z} - \bar w \right| = \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| $ ( do resultado 2 acima e da hipótese de que  o módulo de $z$ é igual a 1).


$ \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| = \left| \frac{1 - z \bar{w}}{z} \right| =  \frac{ \left| 1 - z \bar{w} \right| }{ \left| z \right| } $ , e como o $|z| = 1$ concluímos que

$ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ e portanto:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ .