segunda-feira, 7 de maio de 2012

De volta aos complexos

Hoje voltamos ao assunto números complexos para resolver o seguinte problema

Sejam $ z, w, u \in C $, tais que:

$ z + w + u = 0 $, $ | u - z | = | w | \ne 0 $, $ | u - w | = | z | \ne 0 $

prove que u=0.


Então vamos lá:

Consideremos A, B, C, pontos no plano,  como as imagens dos complexos z,w, u respectivamente.  E seja O a origem do plano, isto é O=(0,0).


Assim:

$ |u-z| = |w| \Rightarrow AC = OB $



$ |u-w| = |z| \Rightarrow BC = OA $


Dessa forma temos que  AOBC é um paralelogramo e portanto: $ u = z + w $ 


Assim nós temos:


$ z + w + u = 0 \Rightarrow 2 u = 0 \Rightarrow u=0 $

Observe que foi usada a característica geométrica dos números complexos  para facilitar a resolução do problema. Isso é possível pois todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano. No caso, a partir dessa representação pudemos perceber a relação entre os módulos e daí deduzir o paralelogramo e chegar ao resultado desejado.
É isso por hoje.