ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 40

Considerando $ E $ um espaço métrico, $ A \subset E $ um conjunto aberto e $ (x_n) \subset E $ uma sequência convergente para $ p \in A $, analise as afirmações abaixo.

1. O complementar de $ A $ é fechado em $ E $.
2. Toda vizinhança aberta de $ p $ está contida em $ A $.
3. $ x_n \in A $, para todo $ n $ suficientemente grande.

É correto apenas o que se afirma em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. I e III

Resposta E:

Vamos, então, analisar as afirmações:

I. Correto
Num espaço métrico o complementar de aberto é fechado e vice-versa (é um teorema).


II. Incorreto
Uma vizinhança aberta de $ p \in A $ pode conter pontos em $ A $ e pontos na fronteira de $ A $.


III. Correto
Também é um teorema: Se $ p $ é um ponto limite de um conjunto $ A $ , então toda vizinhança de $ p $ contém infinitos pontos de $ A $.