sábado, 5 de janeiro de 2013

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 42


Considere a transformação linear $ T: R^2 \rightarrow R^2 $ definida
por $ T(x,y) = (2x + 6y, 6x + 2y) $. Com relação a esse
operador, analise as asserções a seguir.

O núcleo de $ T $ é um subespaço vetorial de $ R^2 $ de dimensão 1.
PORQUE
$ T $ é um operador normal.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
C. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
D. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
E. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Resposta D:

Vamos analisar a primeira asserção: O núcleo de $ T $ é um subespaço vetorial de $ R^2 $ de dimensão 1.

Seja $ N(T) $ o núcleo da transformação, então: $ N(T) = \left \{ (x,y) \in R^2; T(x,y) = (0,0) \right \} $. 

Dessa forma:

$ (2x + 6y, 6x + 2y)  = (0, 0) $, então

$ 2x + 6y = 0 $ e $ 6x + 2y = 0 $ , que desenvolvendo nos dá $ x = 0 $ e $ y = 0 $. 

Portanto $ N(T) = (0, 0) $ cuja dimensão é $ 0 $. Ou seja, a primeira asserção é uma proposição falsa


Agora vejamos a segunda asserção: $ T $ é um operador normal. 

Diremos que $ T $ é normal se $ T \circ T^* = T^* \circ T $.

Primeiramente vamos encontrat $ T^* $:

$ \left \langle (a,b) , T(x,y) \right \rangle $

$ = \left \langle (a,b) , (2x + 6y, 6x + 2y) \right \rangle  $

$ = a \cdot (2x + 6y) + b \cdot (6x + 2y) $

$ = 2ax + 6ay + 6bx + 2by $

$ = (2a + 6b)x + (6a + 2b)y $

$ = \left \langle (2a + 6b, 6a + 2b) , (x,y) \right \rangle $

Logo  $ T^*(a,b) = (2a + 6b, 6a + 2b) $, assim:

$ T \circ T^* = T(2a + 6b, 6a + 2b) $

$ = ( 2(2a + 6b) + 6(6a + 2b), 6(2a + 6b) + 2(6a + 2b) ) $, e portanto

$ T \circ T^* = ( 40a + 24b, 24a + 40b ) $.

Por outro lado, temos:

$ T^* \circ T = T^*(2x + 6y, 6x + 2y) $

$ = ( 2(2x + 6y) + 6(6x + 2y), 6(2x + 6y) + 2(6x + 2y) ) $, e portanto

$ T^* \circ T = ( 40x + 24y, 24x + 40y ) $.

Logo $ T \circ T^* = T^* \circ T $ e a segunda asserção é uma proposição verdadeira.

quinta-feira, 3 de janeiro de 2013

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 41

Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal modo que a equação do movimento é dada por $ s''(t) + 16s(t) = 0 $ em que $ s(t) $ é a deformação da mola no instante $ t $ . Sabe-se que $ s(t) = 2 $ e $ s'(t) = 1 $, para $ t = 0 $. Para a função deformação $ s(t) $, tem-se que $ s(t) = 0 $ quando $ t $ é igual a
  1. $ \frac{1}{4} arctan(8) $
  2. $ \frac{1}{4} arctan(\frac{1}{8}) $
  3. $ arctan(\frac{1}{32}) $
  4. $ \frac{1}{4} arctan(- \frac{1}{8}) $
  5. $ \frac{1}{4} arctan(-8) $
Resposta E:

Bem, estamos frente a uma EDO-2, equação diferencial ordinária linear de 2a. ordem: 
$ s''(t) + 16s(t) = 0 $
Como de praxe, vamos supor a solução padrão: $ s(t) = e^{\lambda t} $, e portanto $ s''(t) = \lambda^2 e^{\lambda t} $ .
E nossa equação fica da seguinte forma: $ \lambda^2 e^{\lambda t} + 16 e^{\lambda t} \iff \left( \lambda^2 + 16 \right) e^{\lambda t} $. 
Como $ e^{\lambda t} \neq 0, \forall \lambda $ então $ \lambda^2 + 16 = 0 $ o que nos dá $ \lambda = -4i $ oou $ \lambda = 4i $.
Isto posto, temos como solução geral a seguinte equação: $ s(t) = c1 \cdot e^{4it} + c2 \cdot e^{-4it} $.
Usando a fórmula de Euler para os complexos, temos:
$ s(t) = C1 \cdot cos(4t) + C2 \cdot i \cdot sen(4t) $, que derivando nos dá:
$ s'(t) = -4 \cdot C1 \cdot sen(4t) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4t) $. 
Agora, usando os dados do enunciado:
$ s(0) = 2 = C1 \cdot cos(4 \cdot 0) + C2 \cdot i \cdot sen( 4 \cdot 0 ) \Rightarrow C1 = 2 $.
$ s'(0) = 1 = -4 \cdot C1 \cdot sen(4 \cdot 0) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4 \cdot 0) \Rightarrow C2 = \frac{1}{4i} $.
Voltando à nossa equação temos:
$ s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4i} \cdot i \cdot sen(4t) \iff s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) $.
E, por fim, como é pedido o valor de $ t $ para $ s(t) = 0 $ então:
$ s(t) = 0 \Rightarrow 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = 0 \iff $

$ \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = - 2 \cdot cos(4t) \iff \frac{sen(4t)}{cos(4t)} = - 8 \iff $
$ tg(4t) = -8 $. E portanto, $t = \frac{arctg(-8)}{4}$.