Considere a transformação linear $ T: R^2 \rightarrow R^2 $ definida
por $ T(x,y) = (2x + 6y, 6x + 2y) $. Com relação a esse
operador, analise as asserções a seguir.
O núcleo de $ T $ é um subespaço vetorial de $ R^2 $ de dimensão 1.
PORQUE
$ T $ é um operador normal.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
C. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
D. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
E. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Resposta D:
Vamos analisar a primeira asserção: O núcleo de $ T $ é um subespaço vetorial de $ R^2 $ de dimensão 1.
Seja $ N(T) $ o núcleo da transformação, então: $ N(T) = \left \{ (x,y) \in R^2; T(x,y) = (0,0) \right \} $.
Dessa forma:
$ (2x + 6y, 6x + 2y) = (0, 0) $, então
$ 2x + 6y = 0 $ e $ 6x + 2y = 0 $ , que desenvolvendo nos dá $ x = 0 $ e $ y = 0 $.
Portanto $ N(T) = (0, 0) $ cuja dimensão é $ 0 $. Ou seja, a primeira asserção é uma proposição falsa
Agora vejamos a segunda asserção: $ T $ é um operador normal.
Diremos que $ T $ é normal se $ T \circ T^* = T^* \circ T $.
Primeiramente vamos encontrat $ T^* $:
$ \left \langle (a,b) , T(x,y) \right \rangle $
$ = \left \langle (a,b) , (2x + 6y, 6x + 2y) \right \rangle $
$ = a \cdot (2x + 6y) + b \cdot (6x + 2y) $
$ = 2ax + 6ay + 6bx + 2by $
$ = (2a + 6b)x + (6a + 2b)y $
$ = \left \langle (2a + 6b, 6a + 2b) , (x,y) \right \rangle $
Logo $ T^*(a,b) = (2a + 6b, 6a + 2b) $, assim:
$ T \circ T^* = T(2a + 6b, 6a + 2b) $
$ = ( 2(2a + 6b) + 6(6a + 2b), 6(2a + 6b) + 2(6a + 2b) ) $, e portanto
$ T \circ T^* = ( 40a + 24b, 24a + 40b ) $.
Por outro lado, temos:
$ T^* \circ T = T^*(2x + 6y, 6x + 2y) $
$ = ( 2(2x + 6y) + 6(6x + 2y), 6(2x + 6y) + 2(6x + 2y) ) $, e portanto
$ T^* \circ T = ( 40x + 24y, 24x + 40y ) $.
Logo $ T \circ T^* = T^* \circ T $ e a segunda asserção é uma proposição verdadeira.