ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 41

Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal modo que a equação do movimento é dada por $ s''(t) + 16s(t) = 0 $ em que $ s(t) $ é a deformação da mola no instante $ t $ . Sabe-se que $ s(t) = 2 $ e $ s'(t) = 1 $, para $ t = 0 $. Para a função deformação $ s(t) $, tem-se que $ s(t) = 0 $ quando $ t $ é igual a

1. $ \frac{1}{4} arctan(8) $
2. $ \frac{1}{4} arctan(\frac{1}{8}) $
3. $ arctan(\frac{1}{32}) $
4. $ \frac{1}{4} arctan(- \frac{1}{8}) $
5. $ \frac{1}{4} arctan(-8) $

Resposta E:

Bem, estamos frente a uma EDO-2, equação diferencial ordinária linear de 2a. ordem: 

$ s''(t) + 16s(t) = 0 $

Como de praxe, vamos supor a solução padrão: $ s(t) = e^{\lambda t} $, e portanto $ s''(t) = \lambda^2 e^{\lambda t} $ .

E nossa equação fica da seguinte forma: $ \lambda^2 e^{\lambda t} + 16 e^{\lambda t} \iff \left( \lambda^2 + 16 \right) e^{\lambda t} $. 

Como $ e^{\lambda t} \neq 0, \forall \lambda $ então $ \lambda^2 + 16 = 0 $ o que nos dá $ \lambda = -4i $ oou $ \lambda = 4i $.

Isto posto, temos como solução geral a seguinte equação: $ s(t) = c1 \cdot e^{4it} + c2 \cdot e^{-4it} $.

Usando a fórmula de Euler para os complexos, temos:

$ s(t) = C1 \cdot cos(4t) + C2 \cdot i \cdot sen(4t) $, que derivando nos dá:

$ s'(t) = -4 \cdot C1 \cdot sen(4t) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4t) $. 

Agora, usando os dados do enunciado:

$ s(0) = 2 = C1 \cdot cos(4 \cdot 0) + C2 \cdot i \cdot sen( 4 \cdot 0 ) \Rightarrow C1 = 2 $.

$ s'(0) = 1 = -4 \cdot C1 \cdot sen(4 \cdot 0) + 4 \cdot C2 \cdot i \cdot cos(4 \cdot 0) \Rightarrow C2 = \frac{1}{4i} $.

Voltando à nossa equação temos:

$ s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4i} \cdot i \cdot sen(4t) \iff s(t) = 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) $.

E, por fim, como é pedido o valor de $ t $ para $ s(t) = 0 $ então:

$ s(t) = 0 \Rightarrow 2 \cdot cos(4t) + \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = 0 \iff $

$ \frac{1}{4} \cdot sen(4t) = - 2 \cdot cos(4t) \iff \frac{sen(4t)}{cos(4t)} = - 8 \iff $
$ tg(4t) = -8 $. E portanto, $t = \frac{arctg(-8)}{4}$.