quinta-feira, 16 de janeiro de 2014

A função quadrática e um resultado pouco explorado

Consideremos a função quadrática  $ f(x) = ax^2 + bx + c $, com os coeficientes $ a,b,c \in R, a \gt 0 $. Vamos verificar inicialmente quando $ f(x) = c $.

Para $ f(x) = c $, temos: $ ax^2 + bx + c = c $. Dessa forma $ ax^2 + bx = 0 $.

Podemos colocar o $ x $ em evidência e temos: $ x(ax + b) = 0 $.

Dessa expressão obtemos $ x  = 0 $, resultado bem conhecido. Ou, ainda que $ ax + b = 0 \iff x = - \frac{b}{a} $.

O primeiro resultado, $ x=0 $, mais conhecido, representa o valor da abcissa no qual o valor da função quadrática é igual ao valor de seu coeficiente $ c $, que é o valor da ordenada no qual o gráfico da função corta o eixo vertical.

O segundo resultado, pouco explorado, representa a segunda abcissa para a qual o valor da função quadrática é igual ao valor de seu coeficiente $ c $.

Dessa forma conseguimos determinar dois pontos $ C $ e $ C' $ da função quadrática que repousam sobre a reta $ y=c $, que são $ (0, c) $ e $ ( - \frac{b}{a}, c) $ respectivamente. Agora vamos calcular a distância entre esses dois pontos:

$ d(C,C') = \sqrt{ \left( - \frac{b}{a} - 0 \right)^2  + \left( c - c\right)^2 } = \sqrt{ \left( - \frac{b}{a}  \right)^2  } = \left| - \frac{b}{a} \right| $.

Voltando ao segundo resultado acima, $ x = - \frac{b}{a} $ concluímos que esse valor é o simétrico de $ x=0 $ em relação à reta $ x = - \frac{b}{2a} $ que passa pelo vértice da parábola.

A partir desse resultado podemos prever uma aplicação para o mesmo:

  • Esboçar o gráfico da parábola quando a mesma não possui raízes reais ou encontrá-las seja moroso. Podemos usar os pontos $ (0, c) $ e $ ( - \frac{b}{a}, c) $ e, rapidamente calcular o vértice ou outro ponto qualquer e, então, traçar o gráfico da função.

Podem existir outras aplicações para isso, como por exemplo para a distância calculada acima, vou pensar um pouco mais sobre isso.